10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 324-325 Cevapları Meb Yayınları

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 324 Cevapları MEB Yayınları

6. Uygulama: İçinde Özdeş Nesnelerin Bulunduğu Topluluğun Sıralanması

Soru 1 - NİSA ve LALE kelimelerindeki sayılabilen harfleri ve harfler arasındaki ilişkiyi yazınız.

Kısa Cevap: NİSA kelimesinde 4 farklı harf vardır. LALE kelimesinde ise 4 harf bulunur ancak L harfi 2 kez tekrar eder.

Detaylı Cevap:

• NİSA: N, İ, S, A → 4 farklı harf vardır.
  Bu nedenle her sıralama farklı bir dizilim oluşturur.
• LALE: L, A, L, E → 4 harf vardır ancak L harfi 2 kez tekrar eder.
  Bu yüzden bazı dizilimler aynı olacağından toplam farklı dizilim sayısı azalır.

Sonuç: Tekrarlı harf varsa sıralama sayısı azalır.

Soru 2 - NİSA ve LALE kelimelerinin harfleriyle türetilebilen farklı grupları ayrı iki tabloda yazarak görselleştiriniz.

Kısa Cevap: NİSA için 24, LALE için 12 farklı grup oluşturulur.

NİSA (4 farklı harf)

Formül: 4! = 24 farklı sıralama

Örnek dizilimler:
NİSA, NİAS, NSİA, NSAI, NAİS, NASİ,
İN SA, İNAS, İSNA, İSAN, İANS, İASN … (toplam 24)

LALE (tekrarlı harf var)

Formül: 4! / 2! = 24 / 2 = 12 farklı sıralama

Örnek dizilimler:
LALE, LAEL, LLAE, LLEA, LEAL, LELA,
ALLE, ALEL, AELL, ELAL, ELLA, EALL

L harfi 2 kez olduğu için tekrarlar çıkarılır.

Soru 3 - NİSA ve LALE kelimelerinin harfleriyle türetilebilen grupların sayılarını karşılaştırınız. Bulduğunuz sonuçtan yola çıkarak sayma problemlerindeki farklı durumlara uygun çözüm stratejisi oluşturunuz.

Kısa Cevap: NİSA: 24, LALE: 12 farklı dizilim vardır. Tekrarlı harf olursa sonuç azalır.

• NİSA → 4! = 24 farklı sıralama
• LALE → 4! / 2! = 12 farklı sıralama

Karşılaştırma:

• Tüm harfler farklıysa → n! kullanılır
• Tekrarlı harf varsa → n! / (tekrar edenlerin faktöriyeli) kullanılır

Genelleme (Çok Önemli Kural):

• Tüm elemanlar farklıysa: n!
• Tekrar varsa: n! / (a! . b! . …)

Bu yöntem sayma problemlerinde en doğru ve hızlı stratejidir.

Açıklama: Bu etkinlikte öğrenciler, permütasyonun temel mantığını ve tekrarlı elemanların sıralamayı nasıl etkilediğini öğrenir. Özellikle LALE örneği, gerçek hayatta sık karşılaşılan “aynı elemanların tekrar etmesi” durumunu anlamak açısından oldukça önemlidir.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 324 Cevapları MEB Yayınları (Devamı)

Soru 4 - Her iki kelimenin harflerinden türetilebilecek grupların sayısını, seçtiğiniz çözüm stratejisini kullanarak hesaplayınız.

Kısa Cevap: NİSA → 24, LALE → 12 farklı grup vardır.

NİSA: Tüm harfler farklı → 4! = 24

LALE: 2 tane L aynı → 4! / 2! = 24 / 2 = 12

Sonuç:

• Harfler farklıysa → n!
• Tekrar varsa → n! / tekrar faktöriyeli

Soru 5 - BABA kelimesindeki harfleri kullanarak oluşturulan dörtlü grupları tablo yöntemi ve oluşturduğunuz çözüm stratejisi ile ayrı ayrı hesaplayarak sonuçları karşılaştırınız.

Kısa Cevap: 6 farklı sıralama vardır.

Detaylı Cevap: BABA kelimesinde: 2 tane A, 2 tane B vardır.

Formül: 4! / (2! . 2!) = 24 / (2 . 2) = 6

Olası dizilimler:

• BABA
• BAAB
• ABBA
• ABAB
• AABB
• BBAA

Tablo yöntemi ile de aynı 6 sonuç bulunur.
Sonuçlar aynıdır → çözüm doğrudur.

Soru 6 - Problemin çözümünde kullanılabilecek olası çözüm stratejilerini belirleyiniz ve sizi çözüme ulaştıran stratejilere yönelik çıkarımlarınızı özel ve cebirsel ifadelerle önerme olarak yazınız.

Kısa Cevap: Listeleme, tablo, ağaç şeması, faktöriyel ve tekrarlı permütasyon kullanılabilir.

Kullanılabilecek yöntemler:

• Listeleme
• Tablo yöntemi
• Ağaç şeması
• Faktöriyel yöntemi
• Tekrarlı permütasyon

Genel kural (çok önemli):

Tüm elemanlar farklıysa: n!
r tane aynı eleman varsa: n! / r!
Birden fazla tekrar varsa: n! / (r! . k! . …)
Bu kurallar sayma problemlerinde temel stratejidir.

Soru 7 - Sayma problemlerinde sizi çözüme ulaştıran stratejilere yönelik çıkarımlarınızı kullanışlılık açısından değerlendiriniz.

Kısa Cevap: Basit yöntemler küçük sayılarda, formüller büyük sayılarda daha kullanışlıdır.

Yöntemlerin değerlendirilmesi:

Listeleme:
✔ Kolay anlaşılır
✖ Uzun sürer

Tablo:
✔ Düzenli
✖ Çok işlem gerektirir

Ağaç şeması:
✔ Görseldir
✖ Karmaşıklaşabilir

Formül (permütasyon):
✔ Hızlı ve güvenilir
✖ Mantığı bilinmezse zor

Sonuç:

• Küçük problemlerde → görsel yöntemler
• Büyük problemlerde → formül tercih edilmelidir

Açıklama: Bu bölümde öğrenciler, tekrarlı permütasyon kavramını öğrenerek sayma problemlerinde daha hızlı ve doğru sonuçlara ulaşmayı öğrenir. Özellikle BABA gibi tekrar içeren kelimeler, gerçek hayattaki birçok sıralama problemini anlamayı kolaylaştırır.