10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 372 Cevapları Meb Yayınları

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 372 Cevapları MEB Yayınları

6.2 Dik Koordinat Sisteminde Doğrunun Özellikleri ve Analitik İncelenmesi

Konuya Başlarken Cevapları

Soru 1: Rampanın eğimini veren oranı BAC dik üçgeninin kenar uzunluklarını kullanarak yazınız. Bu oranın dik üçgenin açıları ile olan ilişkisi hakkında ne söylenebilir? Açıklayınız.

Kısa Cevap: Rampanın eğimi = dikey değişim / yatay değişim oranıdır. Bu oran, üçgendeki açının tanjantıdır.

BAC dik üçgeninde:

• Yatay kenar (taban) → yataydaki değişim
• Dikey kenar (yükseklik) → dikeydeki değişim

Rampanın eğimi şu şekilde ifade edilir:

Eğim = (dikey değişim) / (yatay değişim)

Matematiksel olarak bu oran:

m = Δy / Δx

Bu oran, üçgende rampanın yaptığı açının tanjantına eşittir:

m = tan(α)

Yani eğim arttıkça açı büyür, eğim azaldıkça açı küçülür.
Bu nedenle eğim ile açı arasında doğrudan bir ilişki vardır.

Soru 2a: Rampanın eğimi dik koordinat sistemindeki BAC dik üçgenine ait B ve C noktalarının koordinatlarından faydalanılarak nasıl hesaplanabilir? Açıklayınız.

Kısa Cevap: Eğim, iki nokta arasındaki değişim oranıdır:
m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

Verilen noktalar: B(1, 2) ve C(5, 4)

Eğim formülü: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

Hesaplayalım:

m = (4 − 2) / (5 − 1)
m = 2 / 4
m = 1 / 2

Sonuç olarak rampanın eğimi: m = 1/2

Bu, rampanın yatayda 2 birim ilerlerken dikeyde 1 birim yükseldiğini gösterir.

Soru 2b: Dik koordinat sisteminde BAC dik üçgeninin hipotenüsü üzerinde alınan herhangi bir noktanın apsisi ile ordinatı arasında sabit bir ilişki var mıdır? Varsa bu ilişki cebirsel olarak nasıl gösterilebilir? Açıklayınız.

Kısa Cevap: Evet vardır. Bu ilişki bir doğru denklemi ile ifade edilir:
y = mx + n

Detaylı Cevap: Hipotenüs üzerindeki tüm noktalar aynı doğru üzerinde bulunur. Bu nedenle noktalar arasında sabit bir ilişki vardır.

Eğim: m = 1/2

Doğru denklemi genel olarak: y = mx + n

B(1,2) noktasını yerine yazalım:

2 = (1/2)·1 + n
2 = 1/2 + n
n = 3/2

Doğru denklemi:

y = (1/2)x + 3/2

Bu denklem, hipotenüs üzerindeki tüm noktalar için geçerlidir.
Yani apsis (x) ile ordinat (y) arasında doğrusal ve sabit bir ilişki vardır.