9. Sınıf Matematik 2. Ders Kitabı Sayfa 136 Cevapları Meb Yayınları

10. Uygulama

Bir Önermenin Cebirsel İspatı ve Algoritmik Yaklaşım ile Doğrulanması
Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

1. Aşağıdaki “Her tek tam sayının karesi de tektir.” önermesinin ilk adımını tamamlayınız.

1. adım: n ∈ ℤ için x = 2n + 1 olsun.
2. x = 2n + 1 olsun. (Her tek sayı bu biçimde yazılabilir, n ∈ ℤ)
3. x² = (2n + 1)² = 4n² + 4n + 1
4. x² = 2(2n² + 2n) + 1 biçiminde yazılabilir.
5. Sağdaki ifade 2 × (tam sayı) + 1 formundadır → Bu bir tek sayıdır.

2. Her tek tam sayının karesinin tek olup olmadığını bulan bir algoritmanın işlem basamakları

Algoritmik Doğal Dil

1. adım: Başla
2. adım: Girdilerin alınması (Kullanıcıdan bir tek tam sayı alınır)

3. adım: Sayının karesi hesaplanır ve 2 ile bölümünden kalan bulunur

• Eğer n² % 2 = 1 ise → sayı tektir
• Değilse → sayı çifttir

4. adım: Sonuç yazdırılır

• “Her tek tam sayının karesi tektir” ya da
• “Her tek tam sayının karesi tek değildir”

5. adım: Bitiş

Akış Şeması Açıklaması

Başla
Kullanıcıdan tek bir tam sayı al → n

Karar kutusu: n² % 2 = 1 mi?
Evet → “Her tek tam sayının karesi tektir” → Bitiş
Hayır → “Her tek tam sayının karesi tek değildir” → Bitiş

3. Elde ettiğiniz algoritmayı −10’dan 10’a kadar test ediniz.

Cevap:
Test için tek sayılar: -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9
Bu sayıların kareleri: 81, 49, 25, 9, 1, 1, 9, 25, 49, 81
Hepsi tek sayı. → Önerme doğru!

Test Edilen Tek Tam Sayılar ve Sonuçlar:

4. Cebirsel ispat ile algoritma arasındaki benzerlik ve farklılıklar:

Algoritmada sayının karesinin 2 ile bölümünden hareketle kalana bakarak sayının tek olup olmadığını inceledik.
Cebirsel ispatsa, ifadenin karesini alıp tek olup olmadığını inceledik

Benzerlikler:

• Her ikisi de tek sayılar üzerinden işlem yapar.
• Her ikisinde de karesinin tek olduğu sonucuna ulaşılır.

Farklılıklar:

• Cebirsel ispat genel kanıt verirken, algoritma örnekler üzerinden çalışır.
• Cebirsel ispat sembollerle yürütülür, algoritma adım-adım işlemlerle.

5. Cebirsel, sözel ve algoritmik yaklaşım ile ifade edilen ispat sürecinde mantık bağlaçları ve niceleyicilere neden ihtiyaç duyulur?

Cevap: Mantık bağlaçları ("ve", "veya", "ise", "ancak ve ancak") ve niceleyiciler ("her", "bazı") sayesinde matematiksel ifadeler kesinlik kazanır. “Her tek sayı” gibi genelleme içeren önermeler ancak bu araçlarla net ve evrensel biçimde ifade edilebilir. Ayrıca algoritmalarda koşullu yapılar için mantık bağlaçlarına ihtiyaç vardır.

∀ niceleyicisine ve ⇒ bağlacına ihtiyaç duyuldu.
Matematiksel olarak yaklaşımın doğruluğu ifade edilmesi için ve koşulların daha uygun bir dille anlatılması için.

✅ Özetle:

• "Her" gibi ifadeleri belirtmek için evrensel niceleyici (∀) kullanılır.

• İse (⇒) bağlacı, bir durumun başka bir durumu doğurduğunu ifade etmek için kullanılır.
  Bu yapılar, ispatların kesin ve mantıksal bir şekilde ifade edilmesini sağlar.